Problemas Apolonio

En general si las circunferencias son exteriores hay ocho soluciones. Puede ocurrir como en el noveno caso llegando incluso a no tener ninguna solución.

Restamos C1 a C2 y a C3 y tenemos un punto C1 (circunferencia de radio =0) y dos circunferecias

Hallamos el centro de homotécia directa en la intersección de las tangentes exteriores y la unión de centros, en el que concurre también C1.

La circunferencia que pasa por A, B y C1 define los puntos B' P y el centro radical CR.

Desde el CR trazamos la tangente T a C2.

La intersección de la recta que pasa por T - T2 y la mediatriz de C1-P define S1 centro de una solución. Desde S1 La recta que pase por C1 define el punto de tangencia T1.

Desde C2 la perpendicular a B-B' en su intersección con la perpendicular trazada anteriormente desde P-C1por O, define S2, segundo centro solución.

Representamos las dos circunferencias (¡sólo quedan seis más!).

Por homotécia inversa se obtienen dos soluciones más sumando C1 a C3 y restando C1 a C2. En la intersección de la recta unión de centros Y la tangente interior C3-C2 hallamos Hi y consideramos los pun

La circunferecia que pasa por A, B y C1 define A' y R , éste sobre la recta que pase por C1 y Hi.

Hallamos el Centro radical CR.

Desde CR trazamos la tangente T.

Desde C3 pasando por T'(simétrico de T) cortamos C3 en T4 y C1-C2 en S4. Desde S4 pasando por A' y desde T pasando por C3 obtenemos T3 y S3 que con S4 son los centros de otras dos circunferencias solu

Dibujamos las dos circunferencias.

Sumando C1 a C2 y a C3 se obtienen otras dos soluciones por homotécia directa. Consideramos los puntos P y Q en la recta unión de centros.

Las tangentes exteriores a C2 y C3 definen el centro de homotécia al que concurre la recta que pasa por el centro de C1.

Una circunferencia que pase por P, Q y C1 define Q' y R.

Hallamos el centro radical CR desde el que trazamos la tangente T a C3.

Transportamos T en su simétrico T' (no indicado).

La intersección de la mediatriz de C1-R con la recta que pasa por T y C3, define T6 y S6 (centro de la sesta circunferencia solución). Desde C3 pasando por el simétrico de T cortamas a la mediatriz de

Representamos las dos soluciones.

Por homotécia inversa sumando C1 a C2 y restando C1 a C3 se obtienen las otras dos soluciones (¡por fin!). Unimos los centros y trazamos la tangente interior para definir Hi e un par de puntos C y D.

La circunferencia que pasa por C, D y C1 define C' y F en la intersección de la recta que pasa por C1 y Hi.

Hallamos el centro radical CR en la intersección de la recta C-C' y C1-F.

Desde CR trazamos la tangente T a C3.

Con centro en CR transpotamos T en T'( no indicado) simétrico.

La intersección de la mediatriz de C1-F con la recta que pasa por C3 y T', define S7 (centro de la septima circunferencia solución). Desde C3 pasando por T cortamas a la mediatriz de C1-F en S8 cent

Dibujamos las dos circunferencias.

Bueno, este es el resultado final. Sin ordenador, no sé cómo se las apañaría el tal Apolonio. ¡Enhorabuena!

Dibujar una circunferencia que pase por tres puntos. Primer caso: PPP. Sólo hay un a circunferencia que pasa por tres puntos no alineados.

Dibujar las circunferencias que pasen por dos puntos y que sean tangentes a una recta. Segundo caso: PPR.

Dibujar las circunferencias tangentes a tres rectas .Tercer caso: PRR. Hay dos soluciones.

Dibujar las circunferencias tangentes a tres rectas .Cuarto caso: RRR. Hay cuatro soluciones.

Dibujar las circunferencias que pasen por dos puntos y sean tangentes a una circunferencia. Quinto caso: PPC.

Dibujar las circunferencias que pasen por un punto y sean tangentes a una recta y a una circunferencia. Sexto caso: PRC.

Dibujar las circunferencias tangentes a dos rectas y a una circunferencia. Septimo caso: RRC.

Dibujar las circunferencias tangentes una recta y a dos circunferencias . Octavo caso: RCC.

Dibujar las circunferencias que pasen por un punto y sean tangentes a otras dos circunferencias. Noveno caso: PCC.

Dibujar las circunferencias tangentes a otras tres circunferencias. Décimo caso: CCC.


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