Problemas Apolonio

En el caso general hay cuatro soluciones, pudiéndose reducir a ninguna en función de la posición relativa de los elementos

Siendo P centro de inversión, considerando C1 circunferencia de autoinversión, trazamos la circunferencia de puntos dobles y el punto de tangencia T en C1.

Hallamos la circunferencia inversa de C2 C2'.

Las rectas tangentes a C1 y C2' son figuras inversas de las circunferencias solución y contienen los puntos de tangencias T1, T2, T3 y T4 en su intersección con la circunferencia de puntos dobles.

Las intersecciónes de las mediatrices trazadas a los segmentos P-T1 y P-T2, definen S1 centro de una solución. Repetimos lo mismo para P-T3 y P-T4 y hallamos otro centro solución S2.

Procediendo del mismo modo que el paso anterior para P-T3 y P-T4 y definimos los otros dos centros de las circunferencias solución.

Trazamos las circunferencias.

Cuando el punto es interior y C1 tangente interior a C2.

Siendo Q centro de inversión, trazamos la circunferencia de puntos dobles que pasa por P y hallamos r, circunferencia inversa de C2.

Hallamos s circunferencia inversa de C1.

Trazamos la circunferencia O tangente a s y r que pase por P y hallamos T1' en r.

Unimos Q con T1' y definimos T1 en C1 y T2 en C2. Las intersecciónes de las mediatrices trazadas a los segmentos P-T1 y P-T2, definen S1 centro de una solución.

Trazamos la circunferencia O' tangente a s y r, que pase por P, y hallamos T3 y T4.

Repetimos lo hecho en el paso 12 para P-T3 y P-T4 y hallamos otro centro solución S2.

Cuando el punto pertenece a una circunferencia

Si consideramos T como centro de inversión, r y s serán inversas de las circunferencias solución.

Los centros de las mismas pertenecerán al segmento C1-T y las circunferencias pasarán por A' y B'.

Unimos A'-C2 y definimos C3; unimos C2-B' y definimos C4.

Dibujar una circunferencia que pase por tres puntos. Primer caso: PPP. Sólo hay un a circunferencia que pasa por tres puntos no alineados.

Dibujar las circunferencias que pasen por dos puntos y que sean tangentes a una recta. Segundo caso: PPR.

Dibujar las circunferencias tangentes a tres rectas .Tercer caso: PRR. Hay dos soluciones.

Dibujar las circunferencias tangentes a tres rectas .Cuarto caso: RRR. Hay cuatro soluciones.

Dibujar las circunferencias que pasen por dos puntos y sean tangentes a una circunferencia. Quinto caso: PPC.

Dibujar las circunferencias que pasen por un punto y sean tangentes a una recta y a una circunferencia. Sexto caso: PRC.

Dibujar las circunferencias tangentes a dos rectas y a una circunferencia. Septimo caso: RRC.

Dibujar las circunferencias tangentes una recta y a dos circunferencias . Octavo caso: RCC.

Dibujar las circunferencias que pasen por un punto y sean tangentes a otras dos circunferencias. Noveno caso: PCC.

Dibujar las circunferencias tangentes a otras tres circunferencias. Décimo caso: CCC.


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