Problemas Apolonio

En el caso general de que las rectas se corten en el interior de la circunferencia existen ocho soluciones si se consideran las tangentes interiores y exteriores, reduciéndose el número de soluciones

Los centros de las circunferencias solución estarán en la bisectriz del ángulo formado por r y s.

Reducimos la distancia de r a C (dilatación negativa) una magnitud igual al radio de C, hacemos lo mismo con s, obtenendo r' y s' y una circunferencia C de radio igual a cero (o sea un punto).

Hallamos C' simétrico de C respecto de la bisectriz, el eje radical del haz de circunferencias que pasan por C y C' y el centro radical. Desde el C.R. trazamos la tangente a la circunferencia auxi

Desde CR, con radio igual a la magnitud de la tangente posicionamos T1' y T2'. Mediante una perpendicular a s' que pase por T1', definimos el punto de tangencia T1 en s y la perpendicular a r por T1,

Dibujamos las dos soluciones. Con el mismo procedimiento, pero sumando el radio de C a r y s (dilatación), hallaremos dos soluciones más.

En el caso que las rectas se cortan en el interior de la circunferencia existen ocho soluciones considerando las tangentes interiores y exteriores.

Sumamos una magnitud igual al radio de C a r y a s (dilatación), obtenendo r' y s' y trazamos la bisectriz t.

Hallamos C' simétrico de C respecto de la bisectriz, y el eje radical del haz de circunferencias que pasan por C y C' y el centro radical.

Desde el C.R. trazamos la tangente a la circunferencia con centro en la bisectriz que pasa por C y C'. Desde CR, con radio igual a la magnitud de la tangente posicionamos T1' y T2'.

Mediante una perpendicular a s' que pase por T1', definimos el punto de tangencia T1 en s y el centro de la circunferencia solución S1 en la bisectriz. Haremos lo mismo desde T2' y dibujamos 2 soluci

Reducimos la distancia de r a C (dilatación negativa) una magnitud igual al radio de C, hacemos lo mismo con s, obtenendo r'' y s''.

Prolongamos C-C.R.1 y obtenemos C.R.2 en r'' y con el procedimiento empleado en el punto 10 hallamos S3 y S4 .

Trazamos la bisectriz exterior v repetimos el paso 9 para hallar C.R. 3 y definir los cemtros S5 y S6 con el procedimiento empleado en el punto 10.

Prolongamos C-C.R.3 y hallamos C.R.4 en r'' y con el procedimiento empleado en el punto 10 hallamos S7 y S8.

Dibujar una circunferencia que pase por tres puntos. Primer caso: PPP. Sólo hay un a circunferencia que pasa por tres puntos no alineados.

Dibujar las circunferencias que pasen por dos puntos y que sean tangentes a una recta. Segundo caso: PPR.

Dibujar las circunferencias tangentes a tres rectas .Tercer caso: PRR. Hay dos soluciones.

Dibujar las circunferencias tangentes a tres rectas .Cuarto caso: RRR. Hay cuatro soluciones.

Dibujar las circunferencias que pasen por dos puntos y sean tangentes a una circunferencia. Quinto caso: PPC.

Dibujar las circunferencias que pasen por un punto y sean tangentes a una recta y a una circunferencia. Sexto caso: PRC.

Dibujar las circunferencias tangentes a dos rectas y a una circunferencia. Septimo caso: RRC.

Dibujar las circunferencias tangentes una recta y a dos circunferencias . Octavo caso: RCC.

Dibujar las circunferencias que pasen por un punto y sean tangentes a otras dos circunferencias. Noveno caso: PCC.

Dibujar las circunferencias tangentes a otras tres circunferencias. Décimo caso: CCC.


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